La cuantificación constituye el núcleo del hacer matemáticas en la vida cotidiana (Saxe, 2004) y es un método primario ampliamente utilizado para describir y medir diferentes tipos de atributos de los aspectos del mundo (OCDE, 2017).

En términos educativos, y en con cordancia con García (2018), en clases de matemática generalmente la enseñanza de la cuantificación se reduce a cuantificar rea lidades sin escenarios socioculturales. Al respecto, la Organización para la Coopera ción y el Desarrollo Económicos (OCDE) consideró a la cuantificación de medidas de magnitudes geométricas como una de las te máticas que forma parte de la prueba inter nacional PISA-D de matemáticas, en donde la medida de ángulos, distancias, longitudes, perímetros, áreas y volúmenes son parte de los contenidos a evaluar en esta prueba.

En el caso particular de Chile, este tipo de cuantificación conforman las ba ses curriculares del Ministerio de Educa ción (MINEDUC) de primero a sexto bá sico (MINEDUC, 2018), las cuales buscan que el alumnado cuantifique magnitudes tales como ancho, largo, alto, peso, área, volumen, entre otros, marcando una fuer te tendencia por llevar la enseñanza de la cuantificación a contextos propios de la Geometría. Desde séptimo básico a tercero medio, las bases curriculares (MINEDUC, 2015) hacen explícita dicha tendencia al contemplar un eje temático de Geometría, el cual establece objetivos de aprendizaje cuyo propósito es lograr que el estudiantado cuantifique la medida de ángulos, así como perímetros, áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas.

Con esos lineamientos, los textos es colares oficiales de matemática del MINE DUC de séptimo a tercero medio (p.e. Iturra et al., 2022; Torres y Caroca, 2022; Fresno, Torres y Ávila, 2022; Díaz et al., 2020 Osorio et al., 2019) proponen diferentes tipos de actividades para que el alumnado cuantifique, a través del uso de fórmulas, la medida de ángulos inscritos en polígo nos, perímetros de circunferencias, áreas de paralelogramos, triángulos, trapecios y círculos, volúmenes de prismas, cilindros, conos y esferas y la longitud de cuerdas y arcos, entre otros.

Lo anterior identifica en la Geometría a referentes de la matemática escolar para llevar a cabo la enseñanza de la cuantificación, en donde se pretende que el estudiantado aplique diferentes fórmulas para cuantificar medidas de una amplia variedad de magnitudes geométricas. Esto da lugar a una falta de marcos de referencia para la matemática escolar que permitan valorar los usos de la cuantificación que ocurren en situaciones cotidianas de la gente y atender las justificaciones funcionales demandadas por otros dominios de conocimiento.

Con el propósito de abordar esta problemática, el objetivo de esta investigación fue formular una epistemología de usos de la cuantificación. Para dicho fin, el artículo se estructura de la siguiente manera: en primer lugar, se dará a conocer el marco teórico que sustentó esta investigación, en donde se profundiza respecto al programa SOLTSA, las epistemologías de usos, la categoría de modelación y su rol en la formulación de estas epistemologías. En segundo, se mostrará la metodología que permitió responder al objetivo de investigación. En tercer lugar, se dará cuenta del análisis y los resultados de investigación. Y en cuarto y último lugar, se reportarán las discusiones y conclusiones de este estudio.

La categoría de modelación, ζ(Mod), es una variedad de modelación matemática abordada desde la socioepistemología cuyo principio P´ valora la matemática funcional de la gente en la relación recíproca y horizontal entre la matemática escolar y el cotidiano, donde “la relación recíproca es el indicador de que la matemática escolar y la matemática de la vida deben afectarse mutuamente, mientras que la relación horizontal es el indicador de que deben conservar el mismo estatus y valor epistemológico” (Mendoza y Cordero, 2018, p. 44). Este principio no permite una separación entre la matemática y la realidad, en contraparte de otras posturas teóricas de modelación que ofrecen alternativas para relacionarlas.

Ahora bien, la ζ(Mod) legitima los 𝒰(CM) que ocurren en diferentes dominios de conocimiento, así como en la alternancia de estos, entendiendo por 𝒰(CM) como las funciones orgánicas de las situaciones (fun cionamientos), las cuales se manifiestan por las “tareas” que componen la situación y las formas del uso relacionadas a la clase de esas “tareas”. En cuanto a las tareas, estas pueden ser actividades, acciones, ejecuciones o al ternancias de dominios propias del organis mo de la situación (Cordero et al., 2022). El binomio funcionamiento-forma es utilizado para caracterizar a los 𝒰(CM), donde “el fun cionamiento es la función-utilidad que tiene el conocimiento matemático en una situación específica y la forma es la generalización del tipo de acciones que se realizan dentro de esta” (Morales, 2020, p. 35).

La Figura 1 representa un esquema de la ζ(Mod) y estructura los elementos que permiten promover una movilidad de usos y significados del conocimiento matemático, los cuales emergen de CCM en situaciones específicas S _in, y podrían estar sobre escenarios o dominios de conocimiento D _n. Estas se componen de elementos que construyen conocimiento matemático: significaciones, procedimientos e instrumento, y estos en conjunto derivan la argumentación de S _in , la cual corresponde a una resignificación de 𝒰(CM), Re(𝒰(CM)), construida por la CCM en S _in .

Figura 1 Fuente: Cordero et al. (2022)

Una Re(𝒰(CM)) se refiere a una epistemología de 𝒰(CM) que en el contexto de la matemática escolar es inusual; pues se refiere a una matemática en forma de procesos permanentes (usos y significados) que emergen de las CCM, en contraparte de objetos terminales (conceptos y definiciones), los cuales no necesariamente surgen en los sujetos (Cordero et al., 2019).

De lo anterior, se desprende la naturaleza empírica de una epistemología de 𝒰(CM). Estas son bases epistemológicas para el diseño de situaciones escolares de socialización (DSES) capaces de favorecer a los 𝒰(CM), en contraparte de otros tipos de diseños que pro-mueven la emulación de un con-cepto (Morales, 2020). Además, estas epistemologías conforman la Socioepistemología del Cálculo y el Análisis (Figura 11) y su formu-lación es uno de los propósitos del programa SOLTSA.

La relación entre Sin y Dn se ve afectada por un eje Er, el cual singulariza epistemológicamente la actividad matemática ocurrida en Sin. Esta singularidad ha sido reportada en diferentes investiga-ciones, como es el caso de la se-lección en el dominio de la inge-niería mecatrónica (Cordero et al., 2019) o en el de una situación de periodización en el dominio de la ingeniería química (Pérez-Oxté, 2021), entre otras. La ζ(Mod) valora las transversalidades del conocimiento matemático, entendidas como las Re(𝒰(CM)) entre escenarios o dominios D _n (por ejemplo, entre la escuela y el trabajo; o entre la matemática y la ingeniería). Estas transversalidades suceden en momentos (Mo _i), los cuales son fases del proceso situacional (Mendoza y Cordero, 2018). Adicionalmente, la ζ(Mod) valora la institucionalización; es decir, se reconoce que el conocimiento matemático posee su propia estructura de validación, la cual depende de la CCM en cuestión.

Un ejemplo de formulación de una epistemología de 𝒰(CM) con base en el desarrollo de la ζ(Mod) lo plantea Cordero et al. (2019) al analizar la resignificación de usos de la optimización en tres situaciones de selección: una propia de la obra de Lagrange, titulada Mécanique Analytique; otra de la ingeniería mecatrónica y la última de un escenario escolar con ingenieros en formación. Los resultados mostraron que estos usos también se resignificaron en las transversalidades entre estos escenarios, los cuales sucedieron en tres momentos: la ecuación de equilibrio, la calidad de imagen y el comportamiento estable. Esto permitió formular una epistemología capaz de expresar una transversalidad de usos en situaciones específicas de selección, conformadas por elementos que en conjunto derivan en argumentaciones de optimización: lo estable como instrumento, la distinción de cualidades como procedimiento y los patrones de adaptación como significación. Esta epistemología cristaliza la selección como “una referencia para establecer el uso, la resignificación y transversalidad de la optimización” (Cordero et al., 2019, p. 194).

Con base en un desarrollo de la ζ(Mod), este estudio analizó la resignificación de usos de la cuantificación en tres situaciones de medición: una propia de una comunidad interdisciplinar, otra de la obra matemática de Lebesgue (1902) y la última de un escenario escolar con estudiantes de ingeniería. El análisis de estas tres situaciones permitió formular una epistemología capaz de transmitir la transversalidad de usos de la cuantificación en situaciones de medición, las cuales se conforman de elementos que en conjunto derivan argumentaciones de cuantificación: lo medible como instrumento, la clasificación como procedimiento y la medida de magnitudes como significación.

A continuación, se dará cuenta de la recolección y el análisis de datos que fue realizada en cada una de las fases planteadas.

La contaminación de microorganismos produce problemas asociados a la transmisión de enfermedades o al deterioro de superficies a las cuales estos se adhieren (Delgado, 2013). Con el fin de confrontar este problema, Delgado (2013) desarrolló un aditivo (Figura 2) para elaborar recubrimientos superficiales como medida complementaria y prevenir enfermedades como aquellas provocadas por bacterias coliformes.

Figura 2 Nota: fuente propia de la investigación

Para probar la potencialidad del aditivo, esta comunidad participó en un proyecto que buscó determinar si un recubrimiento elaborado con base en ese aditivo reducía significativamente la cantidad de bacterias coliformes en un calabozo. A continuación, se detallará cada una de las etapas que permitieron, de manera consecutiva, desarrollar este proyecto.

Etapa 1. Preparación de un recubrimiento antimicrobiano. La preparación del recubrimiento consideró lo indicado por P1 durante las entrevistas: un kilógramo de recubrimiento debía conformarse por 95 % de pintura al óleo y 5 % de aditivo. Con base en esto, P2 elaboró el recubrimiento con 20 litros de pintura utilizando un recipiente de vidrio graduado que le facilitó sacar pintura en menor volumen (800 ml) para manipularla de forma cómoda, según lo señalado por él en las entrevistas. Para preparar 800 ml de recubrimiento, la homogeneización de la mezcla primero se hizo manualmente y luego con agitadores mecánicos. Durante esta etapa, P1 y P2 dialogaron constantemente para que la preparación del recubrimiento fuese segura (evitar el esparcimiento en el aire de partículas tóxicas) y óptima (perder la menor cantidad posible de aditivo).

Etapa 2. Aplicación del recubrimiento. Una vez preparado el recubrimiento, P2 y carabineros pintaron el cielo, los muros, el asiento, el piso y los barrotes de uno de los calabozos. Durante las entrevistas, P1 y P4 señalaron que decidieron aplicar el recubrimiento en todo el calabozo para evitar sesgos en la carga bacteriana. Por otra parte, P1 entregó indicaciones para no aplicar más de una capa de recubrimiento, la cual debía ser lo más homogénea posible para evitar que algunos sectores del calabozo tuviesen mayor carga antimicrobiana.

Etapa 3. Toma de muestras de bacterias coliformes. Una semana después, se inició la toma de muestras de bacterias coliformes en ocho zonas específicas del calabozo. Durante las entrevistas, la comunidad señaló que estas zonas fueron elegidas con base en lo que carabineros consideró, por experiencia, eran las zonas de mayor contacto de las personas detenidas con el calabozo: dos zonas de la banca, dos zonas en uno de los muros, dos zonas en el piso, una zona de la reja y la manilla de la reja (Figura 3).

Figura 3

Para tomar muestras se utilizaron microsnaps, pruebas que permitieron detectar y cuantificar bacterias viables, bacterias capaces de crecer y formar colonias en medios de cultivo específicos (Paraje y Tamagnini, 2015). Los microsnaps fueron de dos tipos: incubación y detección. El primero contuvo un medio de cultivo que al reaccionar con las muestras provocó la generación de colonias. El microsnap de detección permitió cuantificar la cantidad de luz emitida tras la reacción del sustrato incorporado en este dispositivo con moléculas de Adenosín Tri fosfato (ATP) de las bacterias. La cantidad de luz se cuantificó con un luminómetro (Figura 4) y fue medida en Unidades Relativas de Luz (URL).

Figura 4 Nota: fuente propia de la investigación.

Durante las entrevistas, la comunidad señaló que la cantidad de URL es directamente proporcional a la concentración de ATP presente en las bacterias y, a su vez, esta última es proporcional a la cantidad de UFC de la muestra incubada.

La toma de muestras se realizó con microsnaps de incubación (Figura 5). Luego, las muestras recolectadas fueron guardadas en un re-cipiente para mantenerlas a temperaturas entre 0 °C y 10 °C durante 48 horas. La co-munidad entrevistada señaló que esto se hizo para evitar que las muestras recolectadas murieran.

Figura 5 Nota: fuente propia de la investigación

válvula en los microsnaps de incubación para liberar un sustrato que reaccionó con las muestras recolectadas. Luego, y con el propósito de proliferar el crecimiento bacteriano, las muestras que reaccionaron con el sustrato se colocaron en una incubadora durante siete horas a una temperatura de 37 °C. Faltando cinco minutos para terminar la incubación, los microsnaps de detección se ubicaron en la incubadora para calentar el sustrato bioluminogénico contenido en cada uno de uno. Pasado los cinco minutos, se hicieron reaccionar las muestras con crecimiento bacteriano con este sustrato para cuantificar las URL.

La Tabla 2a muestra la relación entre la cantidad de UFC y de URL, validado por la AOAC Research Institute(Hygiena, s. f.). Esto sirvió de base para que la comunidad cuantificara las UFC a través de una conversión de URL a UFC por una regla de tres (Tabla 2b).

Tabla 2a

UFC estimadas	URL en luminómetro
< 10	< 2
< 20	< 4
< 50	< 7
< 100	< 12
< 200	< 20
< 500	< 35
< 1.000	< 60
< 5.000	< 180
< 10.000	< 300

Nota: fuente propia de la investigación.

Tabla 2b

Número de URL (N)	Conversión a UFC
0 ≤ N ≤ 4	1 URL = 5 UFC
4 < N ≤ 7	1 URL = 7,14 UFC
7 < N ≤ 12	1 URL = 8,33 UFC
12 < N ≤ 20	1 URL = 10 UFC
20 < N ≤ 35	1 URL = 14,28 UFC
35 < N ≤ 60	1 URL = 16,67 UFC
60 < N ≤ 180	1 URL = 27,78 UFC
180 < N ≤ 300	1 URL = 33,33 UFC

Nota: fuente propia de la investigación.

Esta conversión permitió cuantificar las UFC para evaluar el efecto antimicrobiano del recubrimiento a lo largo del tiempo (por lo tanto, el calabozo se ocupó y desocupó constantemente y cada vez que estuvo desocupado se tomaron muestras). La Figura 6 indica la cantidad de UFC en estas zonas durante distintas fechas, donde las abreviaciones fueron: M1 (Muestra 1), M2 (Muestra 2), As1 (zona específica 1 del asiento), As2 (zona específica 2 del asiento), Mr1 (zona específica 1 del muro), Mr2 (zona específica 2 del muro), P1 (zona específica 1 del piso), P2 (zona específica 2 del piso), R1 (zona específica de la reja) y R2 (manilla de la reja). Como ejemplo, la muestra 2 de la zona Mr2, tomada el 12 de octubre de 2022, marcó 5 URL, equivalente a 5 · 7,14 = 35,7 UFC .

Respecto al uso de la cuantificación en esta etapa, su funcionamiento fue para determinar las UFC en las muestras recolectadas y su forma fue a través de una conversión de URL a UFC por medio de una regla de tres.

Figura 6 Nota: fuente propia de la investigación

Etapa 5. Validación de propiedades antimicrobianas. En esta etapa se realizó un análisis estadístico a los datos provenientes de las UFC de las muestras recolectadas, para validar las propiedades antibacterianas del recubrimiento. En esta etapa, el diálogo entre P1 y P5 permitió interpretar de mejor manera los resultados obtenidos respecto al objetivo del proyecto.

Durante la etapa 4 emergió una situación de medición que calculó la cantidad de bacterias coliformes en las muestras recolectadas. La argumentación vino dada por una cuantificación de UFC, en donde la viabilidad de estas bacterias fue necesaria para que crecieran y formaran colonias en medios de cultivo específicos. De esta forma, lo medible de la cantidad de bacterias coliformes, dado por su viabilidad, fue un instrumento que le permitió al grupo realizar un procedimiento de clasificación según su cantidad de URL, permitiendo, por medio de una regla de tres, cuantificar las UFC en cada muestra. Lo anterior le otorgó al conocimiento matemático un significado asociado a la medida de la cantidad de bacterias coliformes, expresada en UFC.

En términos de los constructos teóricos de la ζ(Mod), una significación asociada a la medida de la cantidad de bacterias coliformes, un procedimiento de clasificación y lo medible como instrumento derivaron una argumentación de cuantificación, la cual corresponde a una resignificación de usos construida por la comunidad en esta situación de medición.

Para Canela (2016), durante el siglo XIX se produjo un proceso de aritmetización del análisis matemático que pretendía dejar atrás la intuición geométrica, característica del siglo XVIII, que, aunque eficaz, prestaba poca atención al fundamento y a la estructura del análisis como tal. Cauchy (1823), desprendiéndose de la geometría y dando un tratamiento analítico, construyó la integral definida para funciones continuas y posteriormente la extendió a funciones con finitas discontinuidades. Por su parte, Dirichlet (1829) amplió esta construcción a funciones con infinitas discontinuidades, y estableció que este tipo de funciones es integrable si el conjunto de discontinuidades es diseminado (denso en ninguna parte). Riemann (1867) amplió la construcción de este concepto a funciones discontinuas en un conjunto denso de puntos, estableciendo criterios para que una función fuese integrable. Jordan (1892), mediante el concepto de contenido de un conjunto, estudió el conjunto de discontinuidades de una función para construir la integral definida, introduciendo por primera vez una noción de medida en la teoría de integración. Por otra parte, Borel (1898) desarrolló un concepto de medida en términos de recubrimientos infinitos, aunque sin vincular esta idea a la integral definida.

Lo realizado por Jordan y Borel fue base para que Lebesgue iniciara la construcción de una teoría de la medida que cambió la visión topológica presente hasta ese entonces en la construcción de la integral definida. En el primer capítulo de su obra, Lebesgue buscó definir una función medida m, que tomase valores en (0,∞), con las siguientes propiedades:

L1. m

L2. Dos conjuntos iguales tienen la misma medida.

L3. La medida de la unión de un número finito o infinito numerable de conjuntos disjuntos entre sí es la suma de la medida de estos conjuntos.

Para esto, Lebesgue definió la medida de un subconjunto acotado E de R. Para tal propósito, definió la medida exterior de E como

Donde I _k son intervalos de R y m(I _k) corresponde al largo de I _k. Para definir la medida interior de E, al ser un conjunto acotado, se puede suponer que para algún intervalo I _k, E ⊆ I _k . Si se denota por C(E) = I _k - E, entonces la medida interior de E, m _i (E), fue definida como

m _i (E) = m (I _k ) - m _e (E)

Con base en lo anterior, Lebesgue estableció que un subconjunto acotado E de R es medible, si m _e (E) = m _i (E) y el valor común corresponde a la medida de E, m(E). Además, Lebesgue probó que esta cumple con las condiciones L1, L2 y L3. Para determinar la medida de un subconjunto acotado E de R², Lebesgue definió la medida exterior de E como: donde ∆_i son triángulos del plano y m(∆_i) es la medida de Lebesgue del conjunto de puntos de un triángulo, el cual coincide con su área. Por otro lado, Lebesgue definió la medida interior de E, como:

donde ∆i son triángulos del plano y m(∆i) es la medida de Lebesgue del conjunto de puntos de un triángulo, el cual coincide con su área. Por otro lado, Lebesgue definió la medida interior de E, como:

m _i (E) = m (ABC) - m _e(C _ABC (E)

donde ABC es un triángulo que contiene a E y (C _ABC (E) corresponde a la medida exterior del complemento de E con respecto al triángulo ABC. De esta manera, E es medible si m _e(E) = m _i(E)y el valor común es la medida de E, m(E). Además, Lebesgue probó que esta también cumple con las condiciones L1, L2 y L3.

Una vez definida la medida para subconjuntos de R y R², Lebesgue planteó el problema de la integral definida de una función positiva ƒ: (𝛼, 𝛽) → (a, b) desde una perspectiva geométrica, en donde consideró como la medida de E = {(x, y) ∈ ℝ²: 0≤ y ≤ ƒ (𝑥), 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽 }. Sin embargo, E no necesariamente es medible, por lo que Lebesgue necesitó considerar funciones ƒ que permitieran que ese conjunto lo fuese. A este tipo de funciones Lebesgue las denominó sumables. Para construir analíticamente la integral definida de una función ƒ: (𝛼, 𝛽) → (a, b) positiva y sumable, Lebesgue particionó el intervalo (a, b) como a = a ₀ < a ₁ < … < a _n= b y clasificó el dominio de ƒ como:

para considerar las sumas

Lebesgue estableció que , y que 𝜎 y 𝛴 tienen el mismo límite cuando la norma de la partición de (a, b) tiende a cero (denotado como |P|→0). Dicho valor común corresponde al de . Cabe destacar que Lebesgue demostró que la condición de que ƒ sea sumable es equivalente a que e _i y é _i son medibles, dándole así sentido a las sumas 𝜎 y 𝛴.

Respecto al uso de la cuantificación ocurrida en esta situación, su funcionamiento fue para determinar la medida de e _i y é _i, mientras que su forma fue a través de la medida m definida por Lebesgue para subconjuntos de R.

Esta situación específica corresponde a una de medición, pues buscó calcular la medida del conjunto E = {(𝑥, y) ∈ ℝ²: 0 ≤ y ≤ ƒ (𝑥), 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽}. La argumentación vino dada por la cuantificación de , en donde se tornó necesario que ƒ fuese sumable para que E fuera medible. De esta forma, lo medible de E, dado por la condición de que ƒ que sea sumable, fue un instrumento para realizar un procedimiento de clasificación en (𝛼, 𝛽) en los conjuntos e _i y é _i, lo cual facilitó cuantificar la integral definida, como

cuyo significado se asoció a la medida de E. En términos de la ζ(Mod), una significación asociada a la medida E, un procedimiento de clasificación y un instrumento ligado a lo medible derivaron una argumentación de cuantificación, la cual corresponde a una resignificación de usos construida por Lebesgue en esta situación de medición.

En esta sección se implementó un DSES con estudiantes de ingeniería (Figura 7), para analizar la resignificación de usos de la cuantificación construida. El DSES se realizó con base en la epistemología de usos hipotética y consistió en una situación de medición de una superficie plana, dibujada sobre una cuadrícula, que representó la vista aérea de una laguna. Por su parte, la argumentación de esta situación fue la cuantificación del área de dicha superficie, para determinar si esta laguna corría o no el riesgo de secarse. Para realizar la cuantificación, el grupo de estudiantes debía formular lo medible, es decir, establecer que el área de cada cuadrado de la cuadrícula es de 10.000 mts ² y posteriormente clasificar estos cuadrados en aquellos ubicados al inte rior de la superficie y aquellos ubicados en su frontera, con el fin de facilitar el cálculo del área de la superficie. En ese sentido, el rol de la cuadrícula fue hacer emerger en los y las estudiantes lo medible como instrumento y la clasificación como procedimiento.

Al analizar las producciones del grupo de estudiantes, se seleccionaron dos grupos que representaron la totalidad de respuestas analizadas, denotados por G1 (integrado por E1 y E2) y G2 (integrado por E3 y E4). En ambos se reconoció una primera etapa de ac ción: separar los cuadrados ubicados dentro de la superficie de aquellos situados en su fronte ra, transformándose en un procedimiento de clasificación. Antes de realizarla, el grupo de estudiantes formuló lo medible, lo cual signifi có establecer que cada cuadrado tiene un área de 10.000 mts ². Al respecto, E1 señaló:

E1: Lo primero que hicimos fue saber cuántos cuadrados completos (refiriéndose a los cuadrados ubicados al interior de la superficie) teníamos en conjunto con mi compañero (…) y, en total, nos dieron 49 cuadrados completos.

Investigador: ¿Por qué trabajaron con los cuadrados completos?

E1: Porque su lado era de 100 metros, y lado por lado da 10.000 mts ², y para que pudiéramos aplicar esta fórmula (refiriéndose al área de un cuadrado) tenían que estar sí o sí completos.

Posteriormente, G1 continuó su razonamiento con aquellos cuadrados ubicados en la frontera de la superficie. Al respecto, E1 indicó:

E1: Luego, distribuimos, según nuestro criterio, los cuadrados faltantes que quedaban, yo conté cuántos había… 28.

Investigador: ¿28 qué?

E1: 28 incompletos (refiriéndose a los cuadrados ubicados en la frontera de la superficie), los cuales distribuí en porcentajes, por así decirlo, como por ejemplo que tengo 4 (refiriéndose a cuadrados ubicados en la frontera) que yo le asigné un 0,75 de un cuadrado completo.

En este diálogo, se reconoció que los estudiantes buscaron determinar qué porcentaje del área de un cuadrado completo le correspondía a cada uno de los cuadrados ubicados en la frontera. Lo anterior, se reforzó con lo señalado por E2:

Figura 7 Nota: fuente propia de la investigación

E2: A algunas partes (refiriéndose a cuadrados ubicados en la frontera) le asigné 0,5 cuando se estimaba un valor aproximado que era la mitad de un cuadrado.

La Figura 8 muestra la asignación de porcentajes de G1 para los cuadrados ubicados en la frontera de la parte derecha de la superficie, junto con un conteo de cuadrados completos ubicados al interior.

Figura 8 Nota: fuente propia de la investigación

Una vez terminada la asignación de porcentajes, G1 se enfocó en la parte izquierda de la superficie y sumó todos estos porcentajes para concluir que equivale a 16,55 cuadrados completos (Figura 9), a los cuales le sumaron los 15 cuadrados ubicados al interior, dando un total de 15 + 16,55 = 31,55 cuadrados completos. De manera similar, en la parte derecha de la superficie G1 determinó que los cuadrados ubicados en la frontera equivalen a 13,5 cuadrados completos, a los cuales le sumaron los 34 cuadrados ubicados al interior, dando un total de 34 + 13,5 = 47,5 cuadrados completos para la zona derecha.

Figura 9 Nota: fuente propia de la investigación.

Finalmente, G1 sumó los cuadrados completos de la parte izquierda y derecha para tener un total de 47,5 + 31,55 = 79,05 cuadrados completos. Esta cantidad de cua-drados permitió determinar el área de la su-perficie, la cual fue de 79,05·10.000 mts2 = 790.000 mts2, por lo que G1 infirió que la laguna se secará (Figura 10).

Figura 10 Nota: fuente propia de la investigación

Respecto a los usos de la cuantificación de G1, su funcionamiento fue para determinar el área de la superficie plana, y su forma fue a través del producto 10.000 · n, donde n representa la cantidad de cuadrados completos cuya suma de áreas equivale, según los y las estudiantes, a la de la superficie en cuestión.

Por su parte, G2 también realizó un procedimiento de clasificación en cuadrados completos e incompletos, pero esta sirvió para acotar superiormente el área de la superficie. Al respecto, E3 señaló lo siguiente:

Investigador: ¿Qué hicieron?

E3: Contamos todos los cuadrados enteros (refiriéndose a los cuadrados completos) y, aparte, contamos los cuadrados incompletos, a los que les falta una fracción.

Investigador: ¿Cuántos cuadrados tienen?

E3: 45 (refiriéndose a los completos) y 46 incompletos.

Investigador: Los consideraron así.

E3: Y aunque fueran todos completos (refiriéndose a los cuadrados), igual tendríamos 91, y no alcanzan a tener 10 por lado para tener un kilómetro cuadrado.

La estrategia de G2 consistió en acotar superiormente el área de la superficie, es decir, esta área es menor al área de 91 cuadrados (maximizando cada cuadrado incompleto por uno completo), y esta área a su vez, es menor a 1 km ². Si bien G2 utilizó una estrategia de acotamiento, esta se inició por un procedimiento de clasificación que previamente requirió formular lo medible de cada cuadrado.

Respecto a los usos de la cuantificación de G2, su funcionamiento fue para acotar superiormente el área de la superficie, y su forma fue a través del producto

10.000 · n, donde n representa la cantidad mínima de cuadrados completos que cubren la superficie.

En términos de la ζ(Mod), en esta situación se evidenciaron dos usos de la cuantificación, uno realizado por G1 y otro por G2. Ambos ocurrieron en una situación de medición conformado por elementos que permitieron al grupo de estudiantes construir conocimiento matemático: significaciones asociadas a la medida de magnitudes (la superficie plana fue la magnitud y su área, en mts ², correspondió a su medida), procedimientos de clasificación de los cuadrados de la cuadrícula (completos e incompletos) y lo medible de estos cuadrados (área igual a 10.000 mts ²) como instrumento, los cuales en conjunto derivaron en la argumentación de cuantificación de la medida de la superficie, siendo esta una resignificación de usos construida por el alumnado.

Los usos de la cuantificación se resignifican en situaciones de medición de una comunidad interdisciplinar, de la obra matemática de Lebesgue (1902) y de estudiantes de ingeniería. Estos usos también se resignifican en las transversalidades entre estos escenarios. Los momentos de transversalidad son Mo ₁: cuantificación de bacterias coliformes, Mo ₂: construcción de la integral definida y Mo ₃: cálculo del área de una superficie plana. Cada momento señala una alternancia de dominios que genera debates entre funcionamientos y formas de los usos de la cuantificación en situaciones de medición conformadas por elementos que construyen conocimiento matemático: significaciones asociadas a la medida de magnitudes, procedimientos de clasificación e instrumentos ligados a lo medible, los que

en conjunto derivan en argumentaciones de cuantificación. Esta epistemología de usos se muestra en la Tabla 3.

Tabla 3

Situación	Medición
Significaciones	Medida de magnitudes
Procedimientos	Clasificación
Instrumento	Lo medible
Argumentación/Resignificación	Cuantificación

Nota: fuente propia de la investigación.

Proyecto Fondecyt de Iniciación N.° 11220346. Proyecto Fondecyt de Iniciación N.°11201103.

Las personas autoras declaran no tener algún conflicto de interés.

Todas las personas autoras afirmamos que se leyó y aprobó la versión final de este artículo.

El porcentaje total de contribución para la conceptualización, preparación y corrección de este artículo fue el siguiente: C. G. P. 25%, F. C. O. 25%, J. H. A. 25% y J. M. L. 25%.

Los datos que respaldan los resultados de este estudio serán puestos a disposición por el autor correspondiente (C. G. P.), previa solicitud razonable.

Una versión Preprint de este artículo fue depositada en: https://doi.org/10.5281/ zenodo.10048909