Se aplicó un cuestionario durante los meses de abril y mayo del 2021, con una duración aproximada de dos horas. Dado que las clases eran mediante presencialidad remota, debido a la pandemia por el COVID-19, se envió el cuestionario al correo electrónico de los sujetos de investigación, los cuales lo completaron de forma individual, en los horarios de los cursos matriculados, bajo la supervisión del respectivo docente.

El cuestionario consta de cuatro preguntas de respuesta abierta, dirigidas a caracterizar el conocimiento de los participantes sobre el concepto de demostración matemática. Las preguntas 1 y 2 están orientadas a definir “demostración” y las 3 y 4, a sus funciones en las matemáticas y en las matemáticas escolares: (1) ¿qué es para usted una demostración matemática?; (2) ¿qué significa para usted demostrar en matemáticas?; (3) ¿para qué sirve una demostración en matemáticas?, y, (4) ¿considera usted que la demostración tiene alguna función en la enseñanza de las matemáticas escolares? En caso afirmativo, explique qué funciones tiene. En caso negativo, explique por qué razón.

Para cada pregunta, los encuestados debían brindar una respuesta lo más amplia y explicativa posible, apoyando con un ejemplo que ilustrara su explicación. El objetivo del ejemplo que se les pidió era tener más elementos para comprender sus respuestas y planteamientos. El cuestionario se compartió con expertos nacionales e internacionales en didáctica de la matemática, matemática pura y enseñanza de la matemática a quienes se les explicó el propósito de cada una de las preguntas y las categorías diseñadas para su posterior examen. Ellos brindaron sugerencias que enriquecieron los instrumentos y depuraron las categorías de análisis. Posteriormente, todo se validó, en una prueba piloto con profesores de matemáticas en formación inicial distintos a los sujetos de investigación considerados en este estudio. Dicha experiencia permitió la revisión y el refinamiento de las categorías de análisis.

La información recopilada se examinó mediante el análisis de contenido, el cual permite la codificación de preguntas abiertas en cuestionarios y la descripción de patrones y tendencias en el contenido comunicativo (Cohen et al., 2007). Este análisis, según Cohen et al. (2007), implica codificación, categorización (creación de categorías significativas en las que se pueden ubicar las unidades de análisis-palabras, frases, oraciones), comparación (categorías y creación de vínculos entre ellas) y extracción de conclusiones teóricas de las unidades de análisis.

Con el fin de analizar la información, se procedió al estudio de cada respuesta suministrada por los sujetos de investigación, en sesiones conjuntas de trabajo entre los dos investigadores. Para las preguntas 1 y 2, se utilizaron las conceptualizaciones propuestas por Hanna y y De Villiers (2012), que resumimos en dos categorías: (a) aspectos formales lógico-sintácticos y matemáticos (ALSM) y (b) aspectos informales semánticos (AIS). En la categoría ALSM, se consideraron las respuestas de los participantes que incluyeran en su descripción aspectos alusivos a estructuras secuenciales, pasos deductivos, elementos de la teoría matemática (tales como axiomas, definiciones, teoremas, hipótesis, cuantificadores universales o existenciales, conectores lógicos, uso de reglas de inferencia, equivalencias lógicas, entre otros). Por otra parte, en la categoría AIS, se incluyeron las respuestas que apuntaban más a aspectos generales y pocos formales asociados a la argumentación general para el convencimiento; por ejemplo, si contemplaban el uso de un dibujo o manipulativos, con el afán de demostrar o justificar un resultado. Es importante aclarar que no necesariamente una categoría es excluyente de la otra. Fue posible observar respuestas que incluían aspectos de ambas categorías a la vez; en tales casos, las contestaciones se contabilizaban en las dos categorías.

A continuación, se ilustra, con dos casos particulares, el análisis realizado para las respuestas de los sujetos a la pregunta 1 de este cuestionario. En la figura 1, se presentan las repuestas de los sujetos EBM04 y ELM01, respectivamente, sobre la definición de demostración matemática.

Figura 1

La imagen de la izquierda corresponde a la respuesta del sujeto EBM04, la cual se ubica en la categoría ALSM, pues hace alusión al uso de aspectos formales matemáticos tales como axiomas, definicio nes, teoremas, entre otros. La imagen de la derecha muestra la respuesta del sujeto ELM01 y se ubica en la categoría AIS, pues no hace explícito ningún elemento formal lógico-sintáctico-matemático, en su lugar, hace referencia a procesos para mostrar que una proposición es verdadera, de una forma muy general, sin hacer evidentes aspectos formales o sintácticos para tal objetivo.

En el caso de las preguntas 3 y 4, para determinar las funciones que los sujetos de investigación atribuyen a la demostración en las matemáticas y en las matemáticas escolares, se utilizaron, como punto de partida, las funciones planteadas por De Villiers (1993) descritas en el marco teórico. Las respuestas se analizaron y se colocaron en alguna de estas categorías. Algunas contestaciones solo referían a una categoría, mientras que otras hacían alusión a varias categorías a la vez. Para las respuestas que no se pudieron ubicar en las categorías ya existentes, se crearon nuevas, especificadas en los resultados.

En relación con el conocimiento sobre el concepto de demostración matemática, los sujetos de investigación ofrecieron, en la pregunta 1 del cuestionario, una definición de demostración matemática, basada en sus conocimientos y experiencias. La mayoría de los sujetos de la investigación proporcionó una definición de demostración matemática cercana a la categoría denominada aspectos formales lógico-sintácticos y matemáticos (ALSM). A continuación, se detallan tres ejemplos de respuestas en esta categoría, correspondientes a los sujetos EBH17, EBM13 y ELH05, respectivamente:

Es la prueba de que una conjetura o propiedad matemática se cumple o es verdadera, partiendo de definiciones o axiomas que funcionan como hipótesis a dicha demostración (EBH17).

En esta categoría, fueron notorias dos ideas centrales en las respuestas de los sujetos sobre qué es una demostración matemática.

Idea central 1 (ALSM): la demostración matemática como un sustantivo: Asocian demostración matemática con sustantivos calificativos tales como una construcción, una herramienta, un proceso, una prueba, un razonamiento matemático, un argumento matemático deductivo, un método lógico y axiomático, para determinar la validez de una proposición, haciendo uso de definiciones, teoremas, axiomas, entre otros.

Idea central 2 (ALSM): la demostración matemática como una acción: Consideran que la demostración matemática es usar o aplicar definiciones, teoremas, axiomas, etc., para determinar la validez de una proposición.

Ambas ideas centrales incluyen en su descripción aspectos relacionados con la categoría ALSM. No obstante, las repuestas incluidas en la idea central 1 hacen principal alusión a los aspectos enlazados a la lógica matemática; mientras que las contestaciones de la idea central 2 resaltan los elementos sintácticos, sin mencionar específicamente la parte lógica matemática.

Por otro lado, una minoría de los profesores de matemáticas en formación inicial definió demostración matemática de modo más cercano a la categoría denominada aspectos informales semánticos (AIS). Estas definiciones aluden al uso de manipulativos o aplicaciones que permitan evidenciar o convencer al espectador de los resultados del teorema; no obstante, no evidencian aspectos lógico-sintácticos, ni matemáticos. A continuación, se muestran las respuestas de los sujetos EBH12 y ELH06 que ilustran dicha categoría:

Es un argumento matemático convincente que sirve para convencer de que cierta idea matemática es verdadera, o en otras palabras, siempre se cumple bajo las condiciones que esta involucra (EBH12).

De las contestaciones en esta categoría, se extrae una idea central que sintetiza qué es una demostración matemática para los profesores de matemáticas en formación inicial. Para estos sujetos, una demostración matemática es…

Idea central 3 (AIS): una prueba, una justificación, un argumento convincente, un método, un proceso, una explicación, una serie de pasos para garantizar o convencer sobre la veracidad de una proposición.

A diferencia de las ideas centrales 1 y 2, estas respuestas no aluden la descripción o, en los ejemplos proporcionados, a elementos de lógica-matemática, deductivos o sintáctico-matemáticos.

Solamente la definición aportada por el sujeto EBH09 incluía en su descripción elementos de ambas categorías ALSM y AIS, lo que podría considerarse una idea central junto con las tres que se mencionaron.

Idea central 4 (ALMS y AIS): una demostración matemática es una prueba o justificación mediante el uso de axiomas o proposiciones verdaderas para justificar el argumento que se desea demostrar. Puede apoyarse con materiales concreto o visual (EBH09).

En relación con el conocimiento sobre qué significa demostrar una proposición en las matemáticas, las respuestas de los sujetos de investigación a la pregunta 2 del cuestionario se agruparon utilizando las mismas categorías empleadas para el análisis de la pregunta 1. En contraste con la pregunta 1, solo una contestación se ubicó en la categoría aspectos formales lógico-sintácticos matemáticos (ALSM):

Demostrar en matemática significa argumentar con rigor, empleando teoremas y axiomas para construir y justificar el argumento. También significa utilizar el razonamiento para determinar los procesos y recursos a emplear de manera adecuada (EBM06).

Dicha respuesta involucra aspectos formales lógico-sintácticos-matemáticos, hace referencia al rigor y a la necesidad de saber emplear razonadamente los recursos para formular una demostración. No obstante, no menciona procesos lógicos o deductivos.

El resto de las contestaciones se ubicó en la categoría aspectos informales semánticos (AIS). Estas se agruparon en tres ideas centrales:

Demostrar en matemáticas es una acción relacionada únicamente con su funcionalidad: en este caso, demostrar refiere a acciones tales como justificar, verificar, validar, argumentar, evidenciar o fundamentar la validez de una proposición. No obstante, existe una ausencia de la forma en la que se llevan a cabo esas acciones. A continuación, se muestran las respuestas de los sujetos EBH10 y ELH11 que ilustran esta idea:

Hacer válido un argumento, una propiedad de algún algoritmo, validar una fórmula (EBH10).

Demostrar en matemáticas es una acción relacionada con su funcionalidad e incluye el uso de alguna herramienta en el proceso: significa argumentar o validar una proposición empleando herramientas. Sin embargo, en las respuestas no se precisa cuáles herramientas o cómo usarlas. Se hace alusión a aspectos más intuitivos.

Seguidamente, se presenta como ejemplo la respuesta del sujeto EBH08:

Significa poder utilizar diversas herramientas de la disciplina para garantizar la veracidad de diversos teoremas (EBH08).

Demostrar en matemáticas es una habilidad: se remite a una habilidad que muestra comprensión de las matemáticas, por parte de quien demuestra y promueve la criticidad y la abstracción para desarrollar el pensamiento complejo. Al igual que en las anteriores, no se conduce a procesos deductivos o lógico-sintáctico-matemáticos. El siguiente ejemplo del sujeto ELM12 ilustra este tipo de respuesta:

Es una habilidad, debido a que uno tiene que comprender el significado del teorema para luego implementar las herramientas que uno tiene (definiciones, lemas, etc.) para luego construir a partir de las hipótesis, poder llegar al resultado (ELM12).

En general, para la pregunta 2, las contestaciones de los sujetos de investigación van orientadas a explicar el significado de demostrar en matemáticas en términos de su función. Pocas respuestas incluyeron explicaciones o descripciones explícitas de cómo se procede al realizar una demostración matemática. Entiéndase que se describe lo que se observó en el análisis de los resultados, esto no significa que una o la otra sea correcta o incorrecta.

En relación con el conocimiento sobre cuál es el papel de las demostraciones en las matemáticas, planteado en la pregunta 3 del cuestionario, se encontraron evidencias de las funciones descritas por De Villiers (1993). La que más mencionaron los sujetos fue la verificación, seguida por la explicación, la sistematización, el descubrimiento y, por último, la comunicación.

En el caso de la verificación, los participantes señalan que la demostración en las matemáticas sirve para certificar, validar, garantizar, argumentar y observar la validez de una proposición y su importancia en otras áreas. Asimismo, indican que sirve para dar sentido y congruencia a las matemáticas y obtener, bajo condiciones similares, los mismos resultados. Una respuesta representativa es la del sujeto EBH12.

Sirve para dar validez, sentido y congruencia en la construcción y aplicación de las matemáticas, de modo que, en cualquier parte del mundo y en cualquier contexto donde se utilicen las matemáticas, estas tengan la misma forma y se llegue a los mismos resultados (EBH12).

Sobre la función explicativa, los sujetos consideran que la demostración funciona para determinar las razones por las que una proposición es verdadera y explicar mejor el conocimiento matemático, además de justificar el uso de un resultado en un contexto determinado. En esta función, los profesores proponen un elemento adicional que consiste en que la demostración posibilita debatir y cuestionar una proposición, con el objetivo de garantizar su validez. Dos respuestas que ilustran lo previo son las de EBM02 y ELM12.

Sirve para justificar al estudiante las razones que le permiten emplear un determinado resultado en la resolución de un ejercicio (EBM02).

Respecto a la función de sistematización, los docentes en estudio apuntan que ordena, formaliza y generaliza resultados, así como determina errores en una teoría matemática. Esta da fundamento a las matemáticas como una teoría organizada. Una respuesta representativa es la de EBH05.

En mi opinión, sirve para tener orden y formalidad, además si no se demuestra en matemáticas cualquier teoría o proposición se utilizarían si saber que se cumple no sólo para casos particulares, es decir, a partir de la demostración se puede generalizar (EBH05).

En cuanto a la función de descubrimiento, determinamos que para los participantes la demostración en las matemáticas permite construir y revisar el conocimiento, mediante la creación de nuevos teoremas y la validación o descarte de ideas, lo que conlleva ampliar el aporte de las teorías matemáticas existentes en otras áreas del saber. El descubrimiento se emplea para comprender una situación concreta que deja, posteriormente, obtener nuevos resultados o saberes. Una respuesta de esta función es la de EBH09.

Una demostración sirve para conocer más el mundo que nos rodea e incluso para conocer nuevos resultados o saberes (EBH09).

La función de comunicación fue evidenciada por EBM07 y EBM13, tal como se muestra acá:

Sirve para mostrar, de una manera que cualquiera que conozca el lenguaje matemático sea capaz de entender la demostración. De esta manera, no importa si una persona habla inglés, español o cualquier otro idioma (EBM07).

Aunada a las cinco funciones antes mencionadas de las respuestas de los sujetos de investigación, surgió otra emergente relacionada con el desarrollo de habilidades; así lo manifestó, por ejemplo, ELM02:

Las demostraciones matemáticas sirven para desarrollar habilidades tales como el pensamiento crítico y deductivo, la argumentación, entre otras que permite justificar con lógica los procedimientos matemáticos (ELM02).

En relación con el conocimiento sobre cuál es el papel de las demostraciones en las matemáticas escolares, en la pregunta 4 del cuestionario, una minoría de los participantes respondió que la demostración matemática no tiene ninguna función en las matemáticas escolares. Afirman que el docente de matemáticas debe saber demostrar, pero, según su experiencia, cuando enseñan las matemáticas escolares no han hecho uso de la demostración. Seguidamente, se presentan dos respuestas que evidencian el resultado.

Si lo enfocamos en la enseñanza escolar es importante que el docente sepa demostrar, sin embargo, en el momento que se va a impartir un tema en las aulas no va a ser por medio de demostraciones (EBM01).

La mayoría de los participantes atribuye una o más de una función a la demostración en la enseñanza de las matemáticas escolares. De las funciones de la demostración en las matemáticas planteadas por De Villiers (1993), se encontraron evidencias, en este trabajo, solamente de tres: la verificación, la explicación y el descubrimiento. Adicionalmente, se han determinado tres funciones emergentes asociadas a las de la demostración en las matemáticas escolares: el desarrollo de habilidades en los alumnos, la contribución al dominio afectivo en los alumnos y la contribución a la práctica docente.

En el caso de las funciones de verificación y descubrimiento, los participantes encuentran la demostración matemática útil en las matemáticas escolares para la validación de resultados y facilitar la construcción de nuevo conocimiento, lo que favorece que los estudiantes comprendan que las matemáticas son formales. Lo anterior, sumado al propósito de la función explicativa, la cual procura dar sentido al saber matemático escolar, que el estudiantado entienda por qué una proposición matemática es verdadera, conozca su origen, utilidad y fundamentos, igual que profundice la compresión de los temas.

A continuación, se presenta la respuesta de ELM04, como evidencia de la verificación, y la de ELM12, quien alude al descubrimiento y la explicación.

Les permite a los estudiantes hacer una comprobación de lo planteado en cuanto a los conceptos o fórmulas matemáticas (ELM04).

En cuanto a la función asociada al desarrollo de habilidades en los alumnos, los sujetos mencionan que esta fomenta o desarrolla la argumentación; el razonamiento y pensamiento matemático; el pensamiento crítico, lógico y deductivo; la formulación y validación de conjeturas, y la resolución de problemas. De seguido, las respuestas de EBM07 y EBM18, quienes hacen referencia a dicha función:

Para inculcar en los estudiantes el razonamiento y el pensamiento matemático (EBM07).

Para la función asociada a la contribución al dominio afectivo en los alumnos, se remite a aspectos relacionados con la identidad matemática de los estudiantes; a la motivación, el amor e interés por las matemáticas; la curiosidad; la confianza en sí mismos, y la familiaridad con las matemáticas. Se presentan las respuestas de EBM03 y ELM01 que evidenciaron la función:

Motivar a conocer nuevas proposiciones (EBM03).

La función asociada con contribuir a la práctica docente consiste en que la demostración sirve para que el profesor de matemáticas conozca los fundamentos del contenido matemático escolar y justifique la validez de una proposición, si esta es cuestionada por sus alumnos. Además, le brinda al docente procedimientos o argumentos para la enseñanza del conocimiento matemático. Una respuesta que ilustra lo mencionado es la de ELM03.

Como docente, saber de dónde provienen los diferentes tópicos que debe enseñar, es decir, tener un conocimiento especializado. Sin embargo, utilizarlos para explicar los temas puede resultar algo abstracto para los estudiantes. Se utilizaría si un estudiante quiere saber que lo que uno explica no fue inventado, sino que sí es cierto (ELM03).

Universidad Nacional, Costa Rica.

Este trabajo se enmarca en el proyecto de investigación inscrito en la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica, con el código 0011-20 y denominado “El conocimiento especializado de los profesores de matemáticas en formación inicial en la carrera de Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional de Costa Rica sobre la demostración”. Asimismo, forma parte de las actividades de la Red Iberoamericana de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas (RED MTSK), adscrita a la Asociación Universitaria Iberoamericana de Posgrado (AUIP).

Los autores declaramos que los participantes de este estudio fueron informados sobre el tratamiento de la información.

Los autores declaran no tener conflicto de intereses.

El porcentaje total de contribución para conceptualizar, preparar y corregir este artículo fue el siguiente: C. A. C. 50 % y J. F. C. 50 %.

Los datos que respaldan los resultados de este estudio serán puestos a disposición por el autor correspondiente (C. A. C.), previa solicitud razonable